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兩位數學家推動素數計數方法重要突破。

原標題：兩位數學家發現素數計數新方法，原來「p2+nq2」形式的素數真有無限多個
文章來源：機器之心
內容字數：6103字

素數新突破：數學家找到計數素數的新方法

素數，只能被自身和1整除的數，是數學中最基本的組成部分。盡管看似隨機分布于數軸上，但素數的分布并非完全隨機，蘊含著復雜的規律，吸引著數學家們幾個世紀的探索。本文介紹了牛津大學的Ben Green和哥倫比亞大學的Mehtaab Sawhney近期取得的重大突破：他們證明了存在無窮多個形如p2+4q2的素數，其中p和q也必須是素數，從而加深了我們對素數分布的理解。

1. 長期挑戰與新突破

   數學家們長期致力于研究素數的分布規律，嘗試證明特定類型素數的無限性。限制條件越嚴格，證明難度越大。Friedlander和Iwaniec在2018年提出的問題——是否存在無窮多個形如p2+4q2的素數（p和q也為素數）——就是一個極具挑戰性的難題。Green和Sawhney的證明解決了這個問題，為素數研究帶來了新的進展。

2. 合作與巧妙策略

   Green和Sawhney在愛丁堡的一次會議上相遇，決定合作解決Friedlander和Iwaniec的猜想。他們意識到傳統的計數技術難以奏效，轉而采用了一種迂回策略：先證明一個較弱的版本，其中p和q為“粗略素數”（rough prime，即不被較小素數整除的數）。粗略素數比素數更容易處理，其分布的隨機性更低。

3. Gowers范數的巧妙應用

   Green和Sawhney證明了，通過對兩個粗略素數求平方并相加可以得到無窮多個素數。接下來，他們需要證明這個結論也適用于真實的素數。為此，他們利用了Gowers范數——一種用于衡量函數或數集隨機性或結構化程度的數學工具。借助陶哲軒和Tamar Ziegler的成果，他們將Gowers范數與素數集合的特定函數集（I型和II型和）聯系起來，證明了使用粗略素數和真實素數得到的集合具有相同的I型和II型和，從而證明了原始猜想。

4. 意義與展望

   Green和Sawhney的工作不僅解決了長期懸而未決的難題，更重要的是，它展示了Gowers范數在素數研究中的強大潛力，為解決其他數論問題提供了新的工具和思路。這項研究成果也表明，不同數學領域的工具可以有效地結合起來，解決看似無法逾越的難題。未來，數學家們將進一步探索Gowers范數在數論和其他領域的應用，有望取得更多突破。

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