兩位數(shù)學(xué)家推動素?cái)?shù)計(jì)數(shù)方法重要突破。

原標(biāo)題：兩位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)計(jì)數(shù)新方法，原來「p2+nq2」形式的素?cái)?shù)真有無限多個(gè)
文章來源：機(jī)器之心
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素?cái)?shù)新突破：數(shù)學(xué)家找到計(jì)數(shù)素?cái)?shù)的新方法

素?cái)?shù)，只能被自身和1整除的數(shù)，是數(shù)學(xué)中最基本的組成部分。盡管看似隨機(jī)分布于數(shù)軸上，但素?cái)?shù)的分布并非完全隨機(jī)，蘊(yùn)含著復(fù)雜的規(guī)律，吸引著數(shù)學(xué)家們幾個(gè)世紀(jì)的探索。本文介紹了牛津大學(xué)的Ben Green和哥倫比亞大學(xué)的Mehtaab Sawhney近期取得的重大突破：他們證明了存在無窮多個(gè)形如p2+4q2的素?cái)?shù)，其中p和q也必須是素?cái)?shù)，從而加深了我們對素?cái)?shù)分布的理解。

1. 長期挑戰(zhàn)與新突破

   數(shù)學(xué)家們長期致力于研究素?cái)?shù)的分布規(guī)律，嘗試證明特定類型素?cái)?shù)的無限性。限制條件越嚴(yán)格，證明難度越大。Friedlander和Iwaniec在2018年提出的問題——是否存在無窮多個(gè)形如p2+4q2的素?cái)?shù)（p和q也為素?cái)?shù)）——就是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的難題。Green和Sawhney的證明解決了這個(gè)問題，為素?cái)?shù)研究帶來了新的進(jìn)展。

2. 合作與巧妙策略

   Green和Sawhney在愛丁堡的一次會議上相遇，決定合作解決Friedlander和Iwaniec的猜想。他們意識到傳統(tǒng)的計(jì)數(shù)技術(shù)難以奏效，轉(zhuǎn)而采用了一種迂回策略：先證明一個(gè)較弱的版本，其中p和q為“粗略素?cái)?shù)”（rough prime，即不被較小素?cái)?shù)整除的數(shù)）。粗略素?cái)?shù)比素?cái)?shù)更容易處理，其分布的隨機(jī)性更低。

3. Gowers范數(shù)的巧妙應(yīng)用

   Green和Sawhney證明了，通過對兩個(gè)粗略素?cái)?shù)求平方并相加可以得到無窮多個(gè)素?cái)?shù)。接下來，他們需要證明這個(gè)結(jié)論也適用于真實(shí)的素?cái)?shù)。為此，他們利用了Gowers范數(shù)——一種用于衡量函數(shù)或數(shù)集隨機(jī)性或結(jié)構(gòu)化程度的數(shù)學(xué)工具。借助陶哲軒和Tamar Ziegler的成果，他們將Gowers范數(shù)與素?cái)?shù)集合的特定函數(shù)集（I型和II型和）聯(lián)系起來，證明了使用粗略素?cái)?shù)和真實(shí)素?cái)?shù)得到的集合具有相同的I型和II型和，從而證明了原始猜想。

4. 意義與展望

   Green和Sawhney的工作不僅解決了長期懸而未決的難題，更重要的是，它展示了Gowers范數(shù)在素?cái)?shù)研究中的強(qiáng)大潛力，為解決其他數(shù)論問題提供了新的工具和思路。這項(xiàng)研究成果也表明，不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的工具可以有效地結(jié)合起來，解決看似無法逾越的難題。未來，數(shù)學(xué)家們將進(jìn)一步探索Gowers范數(shù)在數(shù)論和其他領(lǐng)域的應(yīng)用，有望取得更多突破。

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