14歲高中生也能證明拓撲和分形了

原標題：3名高中生重新證明百年數學定理！只用課余時間、方法非常創新
文章來源：量子位
內容字數：5270字

高中生重新證明門格海綿中的結

三名來自加拿大的高中生，在課余時間成功地擴展并證明了一個100年前的數學定理——任何數學結都可以嵌入門格海綿（Menger Sponge）中。他們的研究不僅展示了年輕人的創造力，也為數學界提供了新的視角。

門格海綿的基本概念

門格海綿是由卡爾·門格爾于1926年提出的分形結構。它通過不斷移除立方體的部分，形成一個極具美感和復雜性的多孔結構。隨著迭代次數的增加，其體積趨近于零，而表面積卻無限增大。這種特殊的性質使得門格海綿成為數學和圖形學等領域的重要研究對象。

證明過程的啟發

在研究過程中，Malors Espinosa發現門格海綿中可以找到任何圓形，而結的形狀也可以被視作類似于圓的結構。于是，他與三名高中生——Joshua Broden、Noah Nazareth 和 Niko Voth，開始探索如何證明任何結都可以嵌入門格海綿中。

弧表示法與康托爾集

學生們利用了弧表示法來表示結，并通過康托爾集的特性來保證結可以在門格海綿中穿行。他們的關鍵發現是，海綿面上的特定坐標不會形成洞，因此結可以順利嵌入其中。通過變形弧線，他們成功證明了這一點。

向四面體版本的擴展

除了在立方體中找到結，學生們還嘗試證明這些結可以嵌入門格海綿的四面體版本。經過努力，他們發現三葉結及其更廣泛的“普雷策爾結”類也可以實現這一目標，突破了Malors最初的想法。

數學研究的真實體驗

Malors表示，這一過程讓學生們深入體驗了數學研究的挑戰與樂趣。在高中數學中，學生們通常能得到明確的答案，而真正的數學研究則充滿了不確定性和失敗的希望。他們的工作可能為理解分形的復雜性提供了一種新的視角，也激發了新的藝術靈感。

總之，這項研究不僅展現了年輕人的潛力，也為未來的數學探索奠定了基礎，激勵更多人關注和參與數學的研究與應用。

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